問題演習

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updated 2012-08-23

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問題

多項定理

pqr9.pngを展開したときのp2q4r3.pngの値は、多項定理を使い、9243.pngと求められる。これを証明せよ。

解答・解説

(p+q+r) (p+q+r)(p+q+r) (p+q+r) (p+q+r)(p+q+r) (p+q+r) (p+q+r)(p+q+r)
を展開する際に p⁹ となるのは、すべての括弧においてpを選び
p×p×p×p×p×p×p×p×p
となる時であり、このような選び方は一通りしかない。
よってp⁹の項は1となる。
同様に考え、 p²q⁴r³ となるのは
p×p×q×q×q×q×r×r×r、p×q×q×r×q×r×p×q×r、…
などのように、pを2個、qを4個、rを3個選ぶ場合の数だけあると言える。
p①、p②、q①、q②、q③、q④、r①、r②、r③を並べる際の場合の数は9!である。
P①、p②は本来区別できないので、二つの並び順である2!倍だけ余分にカウントしているので、そこを考慮すると 9!/2! になる。
同様に、q、rについても言えるため、 9!/2!4!3! と求められる。

問題

微分

sugakumondai .png

解答・解説

微分の意味が分かっているかという問題です。
x=1で微分するとは、三次曲線のx=1における接線の傾きを求めるということである。
故に図示すると以下の直線の傾きとなる。

graph_2.png

この傾きを求めるにはどうすればよいか。
この接点をA(1,f(1))とし、ここからhだけx軸の正の方向に動かした三次曲線上の点をB(1+h,f(1+h))とする。
この点Bを限りなく点Aに近付けた時、直線ABは接線に重なることになる。
故に傾きf’(1)は、

mondaikaisetu_sugaku_2.png

において、hを限りなく0に近付けたときの値となる。

mondaikaisetu_sugaku.png

なので、hが限りなく0近づいたとき、傾きは、-1となる。